La PARABOLA

Dopo avere introdotto la parabola come quella curva che si ricava da una delle possibili intersezione di un piano con un cono a doppia falda. Ne diamo la definizione come luogo geometrico e ne analizzeremo alcune proprietà dal punto di vista sintetico, che spesso sono “oscurate” dalla trattazione analitica.

Dati nel piano una retta d e un punto F non appartenente ad essa, si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza da F è uguale alla distanza da d.

Il punto F e la retta d sono detti rispettivamente fuoco e direttrice della parabola.
Definiamo vertice della parabola il punto intermedio tra il fuoco e la direttrice.

Il software didattico Cabri–Géomètre II

Nella scuola le proprietà delle figure sono spesso presentate in modo statico, tramite disegni con “carta e matita” oppure disegni alla lavagna, mentre utilizzando Cabri si ha l’opportunità di vederle “dal vivo” e di apprenderle in modo vivace e dinamico, mediante l’osservazione e la manipolazione diretta delle figure.
Assegnata la retta d e il punto F, consideriamo un punto H su d, quindi consideriamo il punto di intersezione P tra l'asse del segmento FH e la perpendicolare a d passante per H. Poiché P appartiene all’asse del segmento FH, è equidistante dagli estremi, pertanto P appartiene alla parabola di fuoco F e direttrice d.

FIG. 1 - Costruzione della parabola

Il punto d'incontro tra le due rette ora costruite appartiene alla parabola di fuoco F e direttrice d. Al variare di H sulla retta d esso “genera” l’intera parabola. Applichiamo lo strumento “Traccia” al punto P e osserviamo cosa succede. Successivamente chiediamo al programma di tracciare il luogo dei punti equidistanti da F e da d attraverso lo strumento “Luogo”.

FIG. 2 - Costruzione parabola con il comando “Traccia”


FIG. 3 - Costruzione parabola con il comando “Luogo”

Si possono osservare le seguenti proprietà:
· i punti della parabola si trovano soltanto in uno dei due semipiani individuati da d, quello che contiene il fuoco;
· la perpendicolare per F alla direttrice d è asse di simmetria per la parabola; se un punto P appartiene alla parabola, vi appartiene anche il suo simmetrico P’ rispetto a tale asse;
· la parabola è una curva aperta; l’apertura (o concavità) è rivolta dalla parte opposta a quella cui appartiene la direttrice.

Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
Ricaviamo l’equazione della parabola supponendo che la direttrice d sia parallela all’asse x.
Sia y=d la sua equazione e sia F (p, q) il fuoco, con q diverso da d. Se P(x, y) è un punto generico della parabola, per definizione sarà: PF=PH cioè

Elevando al quadrato otteniamo:

Semplificando e raccogliendo a fattor comune, risulta:

Infine dividendo per 2(q-d) (ricordando che q è diverso da d):

Introducendo tre nuovi coefficienti possiamo scrivere l’equazione nella forma seguente:

y=ax²+bx+c

che rappresenta una parabola con direttrice parallela all’asse x e asse di simmetria parallelo all’asse y.
Operando in questo modo si ottiene l’equazione di una parabola, ma non è evidente il legame tra le coordinate del fuoco, l’equazione della direttrice e i coefficienti a,b,c definiti successivamente. Possiamo allora ricavare l’equazione di una parabola avente per vertice l’origine degli assi, e in seguito ricondurci al caso generale mediante la traslazione dei punti del piano che trasporta l’origine degli assi nel vertice della parabola. Ricaviamo dunque l’equazione di una parabola avente per vertice il punto O(0,0).
L’asse di simmetria di tale parabola coincide con l’asse y. Sia F(0;p/2) il fuoco. L’equazione della direttrice è y=p/2 (p è la distanza del fuoco dalla direttrice). Se P(x, y) è un punto generico della parabola, per definizione sarà:
PF = PH cioè:
da cui, elevando al quadrato e sviluppando:
semplificando otteniamo:
ossia :

y=ax²

(dove si è posto 1/2p = a)

Da quest’ultima equazione possiamo far notare agli allievi che, poiché a e p sono inversamente proporzionali, minore è la distanza fuoco-direttrice, maggiore è “l’apertura” della parabola anche se il termine “apertura”, pur essendo abbastanza intuitivo da comprendere, non è del tutto appropriato, poiché, in un piano tutte le parabole sono simili tra loro.
Attraverso i risultati ottenuti nella dimostrazione precedente e dati a, b e c, coefficienti dell’equazione della parabola, con a diverso da zero, si ricavano p, q e d, da cui :

· Fuoco: F

· Direttrice:

· Asse di simmetria: · Vertice : Esempio: Determinare l’equazione della parabola di fuoco F(2;3) e direttrice
y = -1.
Dalla definizione si ottiene , sviluppando si ottiene:

da cui:

notare che risolvere un’equazione di secondo grado equivale a determinare i punti di intersezione di una parabola di equazione:

y=ax²+bx+c con l’asse x.

Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x.
Supponiamo, ora, che la direttrice d sia parallela all’asse y; sia x=d la sua equazione e sia F (p, q) il fuoco, con p diverso da d. In modo analogo al precedente si dimostra che l’equazione della parabola di fuoco F e direttrice d è:

x=ay²+by+c

come in precedenza, ricaviamo le coordinate del fuoco e del vertice, l’equazione dell’asse e della direttrice:

Fuoco e vertice : F

Vertice: V

Direttrice:

Asse di simmetria:
Notiamo che in questo caso ad un valore di x corrispondono in generale due valori di y sulla parabola e quindi non si tratta di una funzione y= f(x)
Dei tre parametri a,b,c che intervengono nelle equazioni y=ax²+bx+c e x=ay²+by+c

solo il primo determina la “forma” della parabola. Gli altri due b,c determinano la collocazione della curva nel piano cartesiano scelto.

N.B.-Lavoreremo solo con parabole il cui asse di simmetria è parallelo all’asse y.

Intersezioni di una parabola con una retta
Per determinare le intersezioni di una parabola con una retta data (non parallela all’asse della parabola) si imposta il sistema costituito dalle loro equazioni:



Poiché il sistema è di secondo grado, le intersezioni possono essere al massimo due (in tal modo risulta provato per via algebrica che una parabola non ammette tre punti allineati).
Considerato il discriminante D=(b-m)²-4a(c-q) dell’equazione risolvente ax²+bx+c=mx+q si possono presentare tre casi:

1. discriminante maggiore di zero: vi sono 2 radici reali distinte, in tal caso la retta r è secante;
2. discriminante uguale a zero: vi è una soluzione doppia, in tal caso la retta r è tangente;
3. discriminante minore di zero: non vi sono soluzioni reali, in tal caso la retta r è esterna.

A questo punto si possono svolgere esercizi specifici per ciascun caso.

Fig. 4 intersezioni fra parabola e retta

Se la retta è parallela all’asse della parabola, essa è secante e il punto di intersezione non è un punto di tangenza. Quindi quando la retta è parallela all’asse di simmetria della parabola ha un solo punto di intersezione con essa senza esserle tangente.
Il sistema
ammette l’unica soluzione: (h;ah²+bh+c)

Rette tangenti ad una Parabola
In generale per determinare l’equazione della retta tangente a una parabola in un suo punto, oppure le equazioni delle rette tangenti a una parabola condotte da un punto esterno ad essa.
Si pone uguale a 0 il discriminante dell’equazione risolvente il sistema tra la retta generica passante per il punto P0(x0,y0) e la parabola: Esempio: data la parabola P: y=-x²-4x e la retta r: y=-2x+2, determinare le rette t e n tangenti a P e rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta r.
L’equazione di t sarà della forma y=-2x+q (poiché t è parallela a r). Ricaviamo l’equazione risolvente il sistema:

da cui x²+2x-q=0

D/4= 1+q=0 quindi q=-1

Pertanto l’equazione di t è : y=-2x-1
L’equazione di r sarà della forma y = ½ x + q₁

Nel caso in cui P appartiene alla parabola, possiamo determinare la retta tangente in altri due modi:
1) Risolvendo il sistema:

si ottiene l’equazione:

ax²+(b-m)x+c+mx₀-y₀=0

In quest’ultima, invece di porre il discriminante = 0, si può imporre alle due soluzioni di essere entrambi uguali a x0, e quindi di avere come somma 2 x0, pertanto risulta:

2x0=(m-b)/2 quindi

m= 2ax0+b

L’equazione della tangente richiesta è pertanto: y-y0=(2ax0+b)(x-x0)

2) Applicando le formule di sdoppiamento all’equazione della parabola

y = ax² + bx + c

ricaviamo immediatamente l’equazione della retta tangente:

Condizioni per determinare l’equazione di una parabola
Poiché nell’equazione della parabola compaiono tre coefficienti, per determinarli occorrerà imporre tre condizioni indipendenti. Si devono tradurre, poi, le tre condizioni date in altrettante equazioni nelle incognite a, b e c e risolvere il sistema costituito da esse.
I casi più comuni che si possono presentare sono:
1. passaggio per tre punti;
2. conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco;
3. conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un punto;
4. conoscenza delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice;
5. passaggio per due punti e tangenza ad una data retta;
6. conoscenza delle equazioni dell’asse e della direttrice e passaggio per un punto
N.B. - svolgere un esercizio per ciascun caso.

Proprietà geometriche
Un’interessante proprietà geometrica della parabola è la seguente:
Le tangenti a una parabola condotte da un qualunque punto P della direttrice sono tra loro perpendicolari e il segmento di estremi i punti di tangenza passa per il fuoco F

Dimostriamo questa proprietà per la parabola y=x²

Il fuoco e la direttrice sono dati rispettivamente da: F(0, ¼) e d: y= -1/4

sia P (a; -1/4) un generico punto appartenente a d. Determiniamo le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per P:

da cui si ottiene l’equazione risolvente:

4x²-4mx+4ma+1=0

Per la condizione di tangenza il discriminante di tale equazione deve essere uguale a 0:

D/4= 4m²-16am-4=0 ovvero m²-4am-1=0

Risolvendo quest’ultima equazione otteniamo i due coefficienti angolari delle due rette tangenti:

Inoltre risulta:

Pertanto le due tangenti sono perpendicolari.

Le coordinate dei punti di tangenza A e B si ottengono da 4x²-4mx+4ma+1=0, ricordando che il discriminante di questa equazione è uguale a zero, pertanto

Ora calcoliamo il coefficiente angolare mAB delle retta passante per A e per B e il coefficiente angolare della retta passante per A e F: