collegamenti con la FISICA

Ottica:
In ogni punto P della parabola, gli angoli che la tangente forma con la retta congiungente P e il fuoco F e che la tangente forma con la retta perpendicolare per P alla direttrice hanno uguale ampiezza.

Come mostrato in precedenza, P appartiene all’asse del segmento FH (che coincide con la retta tangente alla parabola in P). Sia K il punto di intersezione della retta tangente con FH: i triangoli PKF e PKH risultano congruenti, quindi in particolare gli angoli in P.

FPK=KPH

Da questa importante proprietà si trae un’importante conseguenza: se nel fuoco è posta una sorgente luminosa e la “parete” interna della parabola è rivestita da materiale riflettente ogni raggio luminoso che parte dal fuoco si riflette in un raggio perpendicolare alla direttrice.
Da cui segue la proprietà focale:

Ogni raggio passante per F si riflette in un raggio parallelo all’asse della parabola e, viceversa, ogni raggio parallelo all’asse della parabola si riflette nel punto F.

E’ proprio per questo che tale punto viene chiamato fuoco. La retta d viene chiamata direttrice perché stabilisce la direzione dei raggi riflessi (tutti perpendicolari ad essa).

Gli specchi e le antenne paraboliche sono in realtà figure tridimensionali, chiamate paraboloidi. Un paraboloide si ottiene facendo ruotare una parabola attorno al proprio asse di simmetria.

Osservazione: La proprietà focale è conosciuta fin dall’antichità, infatti con questo concetto furono costruiti i fari all’imbocco dei porti; ricordiamo inoltre la famosa leggenda degli specchi ustori di Archimede. Secondo tale leggenda Archimede avrebbe infatti distrutto la flotta romana durante l’assedio di Siracusa nel 213 a.C. concentrando i raggi solari con appositi specchi.

Fig. 6 Specchio parabolico

MOTO di un PROIETTILE

Un proiettile sparato da un cannone si muove in verticale di moto uniformemente accelerato (con accelerazione g ) e in orizzontale di moto uniforme. La sua traiettoria è il risultato della composizione di questi due moti che avvengono indipendentemente l’uno dall’altro.
Fissato un riferimento cartesiano ortogonale avente l’origine coincidente con la posizione iniziale del proiettile, asse delle ascisse orizzontale e asse delle ordinate verticale orientato dal basso all’alto, uguagliando le leggi orarie dei due moti si dimostra che l’equazione della traiettoria descritta dal proiettile nel riferimento è data da:

E’ possibile studiare il moto del proiettile anche nel caso più generale: quello in cui esso è lanciato con una velocità iniziale v inclinata di un angolo a rispetto alla direzione orizzontale. Il moto risultante è la composizione di un moto uniformemente accelerato lungo l’asse y di velocità iniziale v_y=v₀sena e accelerazione - g e di un moto rettilineo uniforme lungo l’asse x di velocità v_x=v₀cosa. Le due leggi orarie sono rispettivamente:

x=( v₀cosa)t

y=(v₀sena) t-(1/2g)t²

Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda otteniamo una forma più generale dell’equazione della traiettoria:
Ponendo v_y/ v_x = b
e l'accelerazione uguale a :

con il segno negativo.

Facciamo osservare che con questa sostituzione si ottiene l’equazione di un ramo di parabola (poiché x è maggiore di zero), la cui concavità è rivolta verso il basso (poiché a>0)
Osserviamo che a è negativo, pertanto la parabola ha la concavità rivolta verso il basso, mentre risulta b = tg a.